☆ Matrice carrée diagonalisable

Définition

Soit une matrice carrée  \(A\)  de taille  \(n\) . On dit que  \(A\)  est diagonalisable s'il existe une matrice diagonale  \(D\)  de taille \(n\)  et une matrice carrée \(P\)  inversible de taille \(n\)  telles que \(D=P^{-1}AP\) .

Exemple

La matrice  \(A=\begin{pmatrix} 28& -18\\ 36 & -23 \end{pmatrix}\) est diagonalisable.
En effet, la matrice  \(P=\begin{pmatrix} 3& 2\\ 4 & 3 \end{pmatrix}\)  est inversible avec  \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 3& -2\\ -4 & 3 \end{pmatrix}\)  et on a : \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 4& 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=D\)  et \(D\) est une matrice diagonale.